１ヶ月前に派遣会社に登録しました。

１ヶ月前に派遣会社に登録しました。担当の方にいろいろとお世話になっていたのですが、ハローワークで仕事をみつけ、採用されました。

そこで質問なのですが、派遣会社は退会すべきですか？
またどのように退会すればよいのでしょうか？

退会する義務はありません。
退会してその後その派遣会社の仕事にエントリーした場合、また登録会に行かないといけないので。

退会したい場合は派遣会社に電話で連絡すれば大丈夫です。
派遣会社によっては書類の提出を求められる場合もあります（書類は派遣会社から送られてきます）

特定受給資格者？自己都合？
ハローワークに問い合わせたら
答えがあいまいなので、どなたか詳しい方教えて下さい。
ややこしくて申し訳ないです。

現在、派遣社員で半年働いておりますが
鬱病の為、８月いっぱいで退職を考えております。

医師の診断書があれば半年でも特定受給資格者になるので
失業保険の給付が受けられると思っておりましたが

現在の派遣がずっと１ヵ月更新の為、
期間満了の自己都合になるとハローワークの方に言われました。

期間満了にせず、契約の途中で（８月中旬などに）辞めてしまえば、
自己都合の特定受給資格者になるけど、

期間満了で辞めたら、期間満了の自己都合なので
特定受給資格者にはならないって

おかしくないですか？意味がわらないです。
ハローワークのくせに、ちゃんと契約期間を守らずに
辞めろとすすめてるのでしょうか。

どなたか詳しい方教えて下さい。宜しくお願いします。

その意味をお教えいたします。
退職理由を契約期間満了にすると自己都合退職になるが、病気を理由にして途中で退職すれば「特定理由離職者」（特定受給資格者ではない）に該当するとＨＷは言っているのだと思います。
注）「特定受給資格者」は倒産、解雇等会社のいろいろな事情で離職する場合です。
ＨＷはあなたのためを思って認定を受けられる方法を教えてくれているのです。別に契約期間を守らずに辞めろとすすめているわけではありません。多分私の解釈で正しいと思います。
ただ、鬱病で働くことが出来ないのなら受給はできません。
もしそうであれば働けるようになるまで「受給期間の延長申請」をしておいた方がいいと思います。
詳しくはＨＷに確認してください。

失業保険について。結婚のため、9月末退職、10月末に引っ越そうと思っています。通勤困難の為、すぐに受給出来るはずなのですが、退職からおおむね1ｹ月以内に引っ越さないとならないっていうの
は、あいまいだと思うのですが、引っ越し先のﾊﾛｰﾜｰｸに事前に確認した方がいいでしょうか？家を借りるので、出来れば11月1日から契約したいのですが、失業保険の事を考えると引っ越し日も悩みます。

不安ならそうすれば良いと思います。

9/30離職の場合、厳密に「１ヶ月以内」とすると「11/1はアウト」になってしまいますよね？
だから「概ね」としか言いようがないわけですが。